Vergelijkingen en parabolen. HAVO3

Deze opgaven zijn van Getal & Ruimte. HAVO 3

Bladzijde5

2) De fuctie h is gegeven door h(x) = 3x² - 5x + 2.

a) Op de grafiek van h ligt het punt B met xB = 4. Bereken yB?

yB = h(xB) = 3 × 4²- 5 × 4 + 2 = 3 × 16 - 20 + 2 = 30 .
dus yB = 30 voor xB = 4.

b) Op de grafiek van h ligt het punt C met xC = -5. Bereken yC.

yC = h(xC) = 3 ×(-5²) - 5 ×(-5) + 2 = 3 × 25 + 25 + 2 = 102.
dus yC = 102 voor xC = -5.

c) De grafiek van h snijdt de y-as in het punt D.

Wat weet je van xD?
xD = 0 want de grafiek van h snijdt de y-as in het punt D.

Bereken yD. yD = h(xD = 0 ) = 2.

4) Het verband tussen de kosten K in euro en
het aantal per dag geproduceerde tennisrackets a is gegeven
door de formule K = 0,2a² + 12000.
a) Hoeveel zijn de kosten bij een dagproductie van 400 stuks?
De formule geeft K = 0,2a² + 12000.
dus voor a = 400 (een dagproductie)
K = 0,2×400² +12000 = 44 000 euro .
b)De kosten van 200 geproduceerde rackets zijn:
K = 0,2 × 200² +12000 = 20 000 euro .
c)De productiekosten per racket als ,de dagproductie 200 is,
zijn: 20 000 : 200 = 100 euro .

6) Los op :
a) x² - 7x + 12 = 0 , wij gaan eerst ( x² - 7x + 12 ) ontbinden in
factoren met product 12 en som -7,
dus je moet de tabel van 12 gebruiken en je ziet dat
je -4 en -3 moet hebben, dus
x² - 7x + 12 = ( x -3)(x -4) = 0
( x -3) = 0 of (x -4) = 0
x = 3 of x = 4
b) x² - x = 0 , breng eerst de gemeenschappelijke factor
buiten haakjes.
x(x - 1 )= 0
x = 0 of x - 1 = 0 dus x = 0 of x = 1
c) x² + x - 12 = 0 . Wij gaan dat eerst in factoren ontbinden met
product -12 en som 1.
je ziet dat je -3 en 4 moet hebben ,
dus x² + x - 12 = 0 ] dat betekent
( x - 3) (x + 4)= 0 dus x -3 = 0 of x + 4 = 0 ,
dus ( x - 3) (x + 4) = 0.
dus x -3 = 0 of x + 4 = 0 , dus x = -4 of x = 3
d) 2 x² + 8 x = 0 , breng eerst de gemeenschappelijke factor
buiten haakjes.
x(2x + 8 ) = 0 dat betekent x = 0 of 2x + 8 = 0
x = 0 of x = -8 : 2 = - 4
e) x² + 2x + 1 = 0 , het formule (a + b )² = a² + 2 ab + b²
dus x² + 2x + 1 = ( x + 1 )² = 0 ,
x + 1 =0 dus x = -1. of D = 4 - 4 = 0, een oplossing x = -2:2 = -1
f) x² + 6x - 27 = 0 , Wij gaan dat eerst in factoren ontbinden
met product -27 en som 6.

je ziet dat je -3 en 9 moet hebben om deze vergelijking te
kunnen oplossen
dus [ x² + 6x - 27 = 0 ] dat betekent (x - 3)(x + 9 ) = 0
dus x = -9 of x = 3.

7 ) De functies zijn f →x² - 4x - 12en g: x → x² - x - 2
a) De grafiek van f snijdt de x-as in de punten A en B.
Bereken de coördinaten van de punten A en B.
De grafiek van f snijdt de x-as in de punten A en B ,
dat betekent dat [ x² - 4 x - 12 = 0]
Met de hulp van de product-som-methode kan je
[ x² - 4 x - 12] makkelijk ontbinden
dus x² - 4 x - 12 = (x + 2)(x - 6) = 0 ,
dus x + 2 = 0 of x - 6 = 0
dus x = -2 of x = 6 dus xA = - 2 of xB = 6

Nu moet je yA berekenen,
yA = f(xA) = f(-2) = (-2)² -4 × (-2) -12 = 0
dus voor xA=-2 , yA=0,voor xB = 6 ,
dus yB = f( xB) = f (6) = 6² - 4 × 6 - 12 = 0 ,
dus voor xB = 6 , yB = 0 .
conclusie, de coördinaten van A en B zijn: A (-2,0) en B(6,0).
b) Bereken de coördinaten van de snijpunten
van P en Q van de grafiek g met de x-as.
Wij gebruiken zelfde manier zoals in (a),
dus eerst bereken x² - x - 2 = 0.
Met de hulp van de product-som-methode kan je [x²- x - 2]
ontbinden in factoren (x + 1 )(x - 2) = 0
dus x + 1 =0 of x - 2 = 0
dus x = -1 of x = 2 dus de conclusie is ,
de coördinaten van P en Q zijn : P(-1,0) en Q(2,0).

c) De grafiek van g snijdt de y-as in het punt R .
Geef decoördinaten van R. De grafiek van g snijdt
de y-as in het punt R dat betekent dat [xR = 0] nul is,
dus berekenen we g(0)?
g(0) = - 2 dus decoördinaten van R zijn : R(0,-2) .

Bereken de coördinaten van de snijpunten van
de grafieken van de volgende functies met de x-as.
a) f: x→ 5 x²- 10x, wij gaan alleen f(x) = 0
oplossen , stel voor[/size]: a en b zijn oplossingen
van f(x)= 0
dat betekent dat f(a) en f(b) nul zijn.
dus f(x) = 0 = 5 x² - 10x = x(5x-10) = 0
[gemeenschappelijk factor buiten hakjes brengen]
dus x = 0 of x = 2
dus a = 0 en b = 2 dus f(a)=f(0) en f(b)=f(2) = 0

►de coördinaten van de snijpunten van de grafiek
van f zijn : (0,0) en (2,0).
b) g: x→ (2x - 8 )(x - 3) , bereken eerst g(x) =0 ,
dat betekent (2x - 8 )(x - 3) = 0
dus 2x - 8 = 0 of x - 3 = 0 , dus x = 3 of x = 4.
►de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van

g zijn : (3,0) en (4,0)
c) h : x→ x²+ 6x+9 , wij gaan eerst [ x² + 6x + 9]
ontbinden in factoren ,
dus x²+6x + 9 =(x+ 3 )² =0 dus x + 3 = 0 dus x = -3
►de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van
h zijn : (-3, 0).
d) k: x→ x² + 10x -24 , wij gaan eerst [x² + 10x -24 ]
ontbinden in factoren . Met de hulp van de
product-som-methode kan je [ x² + 10x -24]
ontbinden in factoren :
(x +12)(x -2).dus x² +10x -24 =(x +12)(x- 2) = 0,
dus x +12 = 0 of x - 2 = 0 dus x = -12 of x = 2

►de coördinaten van de snijpunten van de grafiek
van k zijn : (-12,0) en (2,0).


Bladzijde 8

9) f: x→ x² + 3x - 3 , De grafiek snijdt de x-as in de punten A en B .
Dex-coördinaten van A en B
zijn de oplossingen van de vergelijking x² + 3x - 3 = 0.
a) Omdat er geen twee gehele getallen zijn met product -3 en som 3,
kunnen wij [x² + 3x - 3 ] niet ontbinden.
b)De vergelijking x² + 3x - 3 = 0 heeft twee oplossingen.
Lees deze oplossingen uit de figuur af . Schat de antwoorden in
een decimaal. eerst oplossing ligt tussen -4 en -3,5 dat is bijna -3,8
en tweede oplossing ligt tussen 0,5 en 1 dus bijna 8,0.


10 ) Gegeven is de vergelijking 2x² - 5x - 7 = 0
a) Vul in.
In deze vergelijking is a = 2 , b = -5 , c = -7

b) Reken D = 81 , volgens de abc-formule is D ( discriminant ) :

D = b²- 4 ac = 25 -4 ×(2 × -7) = 81

c) Los de vergelijking op door in de abc-formule de juiste
getallen in te vullen. De oplossingen zijn :

dus x =( 5 - 9):4 = -1 of x =( 5 + 9):4 = 14:4 = 7:2 = 3½

11) Los op

a) 3 x² -7x + 2 = 0 , D = b²- 4 ac = 49 - 24 = 25
dus x = (7-5):6 = 2:6 = ⅓ of x= (7+5):6 = 2

b) 5x² - x - 4 = 0 , D = 1 + 80 = 81 ,
dus x = (1- 9):10 = -0,8 = -4/5 of x = (1+9):10 = 1

c) 10x² + 9x + 2 = 0 , D = 81 - 80 = 1
dus x = (-9 -1):20= -½ of x = (-9 +1):20 = - 0,4= -2/5

d) 4x² + 5x + 1 = 0 , D = 25 - 16 = 9
dus x =(-5 -3):8 = - 1 of x = (-5 +3):8= - 0,25 = - 1/4

e) 2x² + 3x - 5 = 0 , D = 9 + 40 = 49
dus x = (-3 -7 ):4 = -2½ of x = (-3 +7 ):4 = 1

f) 4x² - 8x + 3 = 0 , D = 64 - 48 = 16
dus x = ( 8 - 4):8 = ½ of x = ( 8 + 4):8 = 1½


12) Los op
a) 3x²+3 =10x dat wordt 3x² - 10x + 3 = 0 , D = 64.
dus x = (10 - 8 ) :6=⅓ of x = (10 + ) :6 = 3 .

b) 6x²+x=2 dat wordt 6x²+x-2= 0,
D= 1+48=49
dus x= (-1-7):12= -⅔ of x= (-1+7):12= ½

c) 4x²+3=8x dat wordt 4x²-8x+3=0 , D=64-48=16
dus x = (8-4):8=½ of x= (8+4):8=1½

d) 7x=2x² +5=0 dat wordt 2x²-7x +5=0, D=49-40=9
dus x= (7-3):4=1 of x=(7+3):4= 2½

e) 9x -4=5x² dat wordt 5x²-9x+ 4=0, D= 81-80=1
dus x = (9-1):10= 0,8=4/5 of x=(9+1):10=1

f) 50x²+1=15x dat wordt 50x²-15x+1= 0, D=225-200=25

dus x =(15-5):100=1/10 of x =(15+5):100=1/5



Bladzijde 10

13 ) Los op . Geef de oplossingen in twee decimalen nauwkeurig.
Om deze vergelijkingen te kunnen oplossen , moet je de abc-formule
toepassen. Eerst D berekenen en daarna heb je twee
oplossingen als D>0, of één oplossing als D = 0,
of geen oplossingen als D <0.

Herhalen. ax² +b x +c = 0, D = b² -4ac. D≥0 en a ≠0,
x = (-b - √D):2a of x = (-b + √D):2a.
a) x² + x - 4 = 0 , D = 1 + 16 = 17 , x = (-1 -√17):2 ≈ -2,56
of x = (-1 +√17):2 ≈ 1,56

b) x² - 5 x -3 = 0, D = 26 + 12 = 37, x = (5 -√37):2 ≈ -0,54
of x = (5 +√37):2 ≈ 5,54

c) x² - 3 x -3 = 0, D = 9 + 12 = 21 , x = (3 -√21):2 ≈ -0,79
of x = (3 +√21):2 ≈ 3,79

d) - x² + 5 x -5 = 0, D = 25 - 20 = 5, x = (-5 +√5):-2 ≈ 1,38
of x = (-5 -√5):-2 ≈ 3,62

14) Los op . Geef de oplossingen zo nodig in twee
decimalen nauwkeurig.

a) 2 x² + 4x + 1 = 0 , D = 16 - 8 = 8, x = (-4 - √8 :4) ≈ -1,71
of x = (-4 + √8 :4) ≈ -0,29

b) x² + x - 1 = 0 , D = 1 + 4 = 5 , x = (-1 - √5):2 ≈ -1,62
of x = (-1 + √5):2 ≈ 0,62

c) 3x² = 2x+8 , deze vergelijking is zelfde zoals [ 3x² - 2x-8 = 0 ]

3x² - 2x-8 = 0 , D = 4 + 96 = 100 , x = (2 -10):6 ≈ -1,33
of x = (2 +10):6 = 2

d) - 2x² + x + 5 = 0 , D = 1 + 40 = 41, x = (-1 + √41):-4 ≈ -1,35
of x = (-1 - √41):-4 ≈1,85

15 ) In figuur 6.4 zie je de grafiek van de functie
f:x→ -0,5x² + 4x -1.
Bereken in twee decimalen nauwkeurig de x-coördinaten
van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as.

Los op: -0,5x² + 4x -1= 0 , D = 16 - 2= 14,
x = (-4+√14):-1= 0,26 en x = (-4 - √14):-1= 7,74
dus één van die twee snijpunten heeft
x-coördinaat (0,26 ; 0) en andere van die twee snijpunten
heeft x-coördinaat (7,74 ; 0).

16) Gerlo denkt dat √-16 gelijk is -4.
a) Bereken ( -4 )². Wij weten dat ( -4 )² = ( -4 ) × ( -4 ) = 16 ,
want (- ) × (- ) = +
dus Gerlo heeft geen gelijk want ( -4 )² = 16.

b) Tik in 16 +/- √ . Wat is het resultaat?

* Het resultaat is error want √-16 bestaat niet.

c) Een kwadraat is nooit negatief , en de wortel uit een
negatief getal bestaat niet.


Bladzijde 11

17 ) Los op.

a) x² + 3x + 4 = 0, D = 9 - 16 = -7 < 0 ,
[D is negatief ] dus geen oplossingen.

b) -2x² + 5x - 2 = 0 , D = 25 - 16 = 9 ,
dus x = (-5 + 3):-4 = ½ of x = (-5 - 3):-4 = 2 .

c) x² = x-6 ,dat wodt : x² - x + 6 = 0, D = 1 - 24 = -23<0 ,
[D is negatief ] dus geen oplossingen.

d) x² = x+6, dat wodt : x² - x - 6 = 0,D=1+24=25 ,
dus x=(1-5):2= -2 of x=(1+5):2 =3


18 ) Los op .
Geef de oplossingen zo nodig in twee decimalen nauwkeurig.

a)25x² + 20x+1=0 , D=400-100=300,
dus x = (-20-√300):50≈ -0,75 of x = (-20+√300):50≈ -0,05

b)3x+1=2x²[/size],dat wordt : 2x²-3x-1 =0, D=9+8= 17,
dus, x= (3-√17):4≈0,28 of x= (3+√17):4≈1,78 .

c)-2x² + 5x=5,dat wordt :-2x² + 5x-5=0, D = 25-40 = -15<0,
[D is negatief ] dus geen oplossingen.

d) -2x² + 5x+2=0 , D = 25 +16 = 41,
dus x = (-5 +√41):-4 ≈-0,35 of x = (-5 -√41):-4 ≈ 2,85.